Z Trans Glidande Medelvärde

Introduktion till filtrering.9 3 1 Introduktion till filtrering. Inom signalbehandlingsområdet innefattar utformningen av digitala signalfiltrar processen att undertrycka vissa frekvenser och öka andra. En förenklad filtermodell är. Där ingångssignalen är modifierad för att erhålla utgången Signalen använder rekursionsformeln. Implementeringen av 9-23 är enkel och kräver endast startvärden, då erhålls genom enkel iteration Eftersom signalerna måste ha en utgångspunkt är det vanligt att kräva det och för Vi lägger fram detta koncept genom att göra följande definition. Definition 9 3 Causal Sequence Med ingångs - och utgångssekvenserna Om och för sägs sekvensen vara causal. Given kausalsekvensen är det enkelt att beräkna lösningen till 9-23 Använd det faktum att dessa sekvenser är orsakssamband. Det allmänna iterativa steget är.9 3 2 Grundfiltret. Följande tre förenklade grundläggande filter fungerar som illustrationer. Jag Zeroing Out Filter, notera det. ii Boosting Up Filter, notera det. iii Kombinationsfiltret. Överföringsfunktionen för dessa modelfilter har följande generella form. var z-transformer av ingångs - och utgångssekvenserna är respektive. I det föregående avsnittet nämnde vi att den allmänna lösningen för en homogen skillnadsekvation endast är stabil om nollor av den karakteristiska ekvationen ligger inuti enhetscirkeln. Om ett filter är stabilt måste överföringsfunktionens poler alla ligga inuti enhetens cirkel. Innan vi utvecklar den allmänna teorin vill vi undersöka amplitudsvaret när ingångssignalen är en linjär kombination av och Amplitudsvaret för frekvensen använder den komplexa enhetssignalen, och definieras att vara. Formeln för kommer att förklaras noggrant efter några inledande exempel. Exempel 9 21 Givet filtret.9 21 a Visa att det är ett nollställningsfilter för signalerna och och beräkna amplitudsvaret.9 21 b Beräkna amplitudsvaren och undersök den filtrerade signalen l för.9 21 c Beräkna amplitudsvaren och undersök den filtrerade signalen för. Figur 9 4 Amplitudsvaret för Fig. 9 5 Inmatningen och utmatningen. Figur 9 6 Inmatningen och utmatningen. Explosionslösning 9 21. Exempel 9 22 Givet filtret.9 22 a Visa att det är ett förstärkningsfilter för signalerna och och beräkna amplitudsvaret.9 22 b Beräkna amplitudsvaren och undersök den filtrerade signalen för Fig. 9 7 Amplitudsvaret för Fig 9 8 Inmatning och utmatning. Explorösning 9 22,9 3 3 Den allmänna filterjämförelsen. Den allmänna formen av en orderfiltringsskillnadsekvation är där och är konstanter. Observera noggrant att de aktuella termerna är av formen och var och vilka som gör dessa termer tidsfördröjda Den kompakta formen för att skriva skillnadsekvationen är. som ingångssignalen är modifierad för att erhålla utsignalen med recursionsformeln. Partiet kommer att noll ut signaler och kommer att öka upp signaler. Mark 9 14 Formel 9-31 kallas recursi på ekvation och rekursionskoefficienterna är och det visar uttryckligen att den nuvarande utgången är en funktion av de tidigare värdena, för den nuvarande ingången och de tidigare ingångarna för sekvenserna kan betraktas som signaler och de är noll för negativa index. Med detta information vi kan nu definiera den allmänna formeln för överföringsfunktionen Använda tidsfördröjda växlingsegenskapen för orsakssekvenser och ta z-transformen av varje term i 9-31 vi erhåller. Vi kan faktor ut ur summeringarna och skriva detta i en ekvivalent form. Från ekvation 9-33 erhåller vi vilket leder till följande viktiga definition. Definition 9 4 Överföringsfunktion Överföringsfunktionen som motsvarar orderskillnadsekvationen 8 ges av. Formula 9-34 är överföringsfunktionen för en oändlig impuls svarsfilter IIR-filter I specialfallet när nämnaren är enhet blir det överföringsfunktionen för ett ändlöst impulsresponsfilter FIR-filter. Definition 9 5 Enhets-provreaktion Spetsen nce som motsvarar överföringsfunktionen kallas unit-sample response. Ordningen 9 6 Output Response Utgångssvaret hos ett filter 10 med en ingångssignal ges av invers z-transformation. and i konvolutionsformen ges det av en annan. Viktig användning av överföringsfunktionen är att studera hur ett filter påverkar olika frekvenser I praktiken samplas en kontinuerlig tidssignal vid en frekvens som är minst dubbelt så hög som den högsta insignalfrekvensen för att undvika frekvensviktning eller aliasing Det beror på att Fourier-omvandling av en samplad signal är periodisk med period, men vi kommer inte att bevisa detta här. Aliasing förhindrar en korrekt återställning av den ursprungliga signalen från dess prover. Nu kan det visas att argumentet för Fourier-transformen kartlägger på z-planetens cirkel via formeln. 9-37, var kallas normaliserad frekvens. Därför är z-transformen utvärderad på enhetscirkeln också periodisk, med undantag av perioden. Definition 9 6 Amplitude Response Amplitudsvaret definieras som storleken på överföringsfunktionen utvärderad vid komplex enhetssignal Formeln är. 9-38 över intervallet. Han grundläggande teorem om algebra innebär att täljaren har rötter som heter nollor och nämnaren har rötter som kallas poler. Nollorna kan väljas i konjugerade par på enhetscirkeln och för För stabilitet måste alla poler inne Enhetscirkeln och Vidare är polerna valda för att vara reella tal och eller i konjugatpar Detta garanterar att rekursionskoefficienterna är alla reella tal. IIR-filter kan vara alla poler eller nollpolar och stabilitet är en oro för FIR-filter och alla nollfilter är alltid stabila.9 3 4 Design av filter. I praktiken används recursionsformeln 10 för att beräkna utsignalen. Men digital filterdesign bygger på ovanstående teori. Man börjar med att välja nollställen och polerna som motsvarar filtret designkrav och konstruktion av överföringsfunktionen Eftersom koefficienterna i är verkliga måste alla nollor och poler som har en imaginär komponent uppträda i konjugerade par. Då rekursionskoefficienten s identifieras i 13 och används i 10 för att skriva det rekursiva filtret. Både täljaren och nämnaren kan inkorporeras i kvadratiska faktorer med reella koefficienter och möjligen en eller två linjära faktorer med reella koefficienter. Följande principer används för att konstruera. Jag Zeroing Out Factors. To filtrera ut signalerna och använda faktorer i formuläret. i täljaren av de kommer att bidra till termen. ii Förstärkning av faktorer. För att förstärka signalerna och använda faktorerna i formen. Signalbehandling av digitala filter. Digitala filter är av väsentligen samplade system. Ingångs - och utsignalerna representeras av prover med samma tidsavstånd. Finit Implulse Response FIR-filter kännetecknas genom en tidsreaktion beroende endast på ett givet antal av de sista proven på ingångssignalen. Med andra ord när insignalen har fallit till noll, kommer filterutmatningen att göra samma efter ett givet antal samplingsperioder. genom en linjär kombination av de sista ingångsproverna xk i. Koefficienterna bi ger vikten för kombinationen De motsvarar också koefficienterna för täljaren för z-domänfiltrets överföringsfunktion. Följande figur visar ett FIR-filter i ordning N 1 . För linjära fasfilter är koefficientvärdena symmetriska kring mitten och fördröjningslinjen kan vikas tillbaka runt denna mittpunkt för att minska antalet multiplicat ions. FIR-filtrets överföringsfunktion pocesses endast en täljare. Detta motsvarar ett helt nollfilter. FIR-filter kräver vanligtvis höga order, i storleken av flera hundra. Således kommer valet av denna typ av filter att behöva en stor mängd hårdvara eller CPU Trots detta är en anledning att välja en FIR-filterimplementering förmågan att uppnå ett linjärt fassvar, vilket kan vara ett krav i vissa fall. Ändå har fiterdesignern möjligheten att välja IIR-filter med en god faslinjäritet i passband, såsom Bessel-filter eller att designa ett allpassfilter för att korrigera fasresponsen hos ett standard IIR-filter. Flyttande medelfilter MA Edit. Moving Average MA-modeller är processmodeller i form. MA-processerna är en alternativ representation av FIR-filter. Genomsnittliga filter Edit. A filter som beräknar genomsnittet av N sista proverna av en signal. Det är den enklaste formen av ett FIR-filter, med alla koefficienter lika. Överföringsfunktionen hos en aver åldersfiltret ges av. Överföringsfunktionen hos ett genomsnittligt filter har N lika fördelade nollar längs frekvensaxeln. Nollpunkten vid DC maskeras emellertid av polens pol. Därför finns en större lob en DC som står för filtret passband. Cascaded Integrator-Comb CIC-filter Edit. A Cascaded Integrator-comb filter CIC är en speciell teknik för att implementera genomsnittliga filter placerade i serie Serieplaceringen av de genomsnittliga filtren ökar den första loben i DC jämfört med alla andra lobes. A CIC-filter implementerar överföringsfunktionen hos N-medelfilter, var och en beräknar medelvärdet av RM-prover. Dess överföringsfunktion ges således. CIC-filter används för att decimera antalet prover av en signal med en faktor R eller, i andra termer, att återprov en signal vid en lägre frekvens, kasta bort R 1 prover ur R Faktorn M anger hur mycket av den första loben som används av signalen Antalet genomsnittliga filtersteg, N indikerar hur bra andra frekvensband är dämpad, på bekostnad av en mindre platt överföringsfunktion runt DC. CIC-strukturen tillåter att implementera hela systemet med endast adderare och register, utan att använda några multiplicerare som är giriga när det gäller hårdvara. Därefter sampling med en faktor R kan öka Signalupplösningen med log 2 RR bitar. Kanoniska filter Edit. Canonical filters implementerar en filteröverföringsfunktion med ett antal fördröjningselement lika med filterordningen, en multiplikator per täljare koefficient, en multiplikator per nämnarkoefficient och en serie adders På liknande sätt som aktiva filter kanoniska strukturer, vilket visade sig vara mycket känsligt för elementvärdena hade en liten förändring i koefficienterna en stor effekt på överföringsfunktionen. Här har också utformningen av aktiva filter skiftats från kanoniska filter till andra strukturer såsom kedjor av andra ordningssektioner eller språngfilter. Kärna av andra ordningens sektioner Edit. A second order-sektion kallas ofta biquad-redskap som econd-orderöverföringsfunktion Överföringsfunktionen hos ett filter kan delas upp i en produkt av överföringsfunktioner som är förknippade med ett par poler och eventuellt ett par nollor. Om överföringsfunktionens order är udda måste en första orderdel läggas till till kedjan Denna sektion är associerad med den riktiga polen och den verkliga nollen om det finns one. direct-form 1.direct-form 2.direct-form 1 transposed. direct-form 2 transposed. The direktform 2 transponeras av Följande bild är särskilt intressant när det gäller nödvändig hårdvara samt signal - och koefficientkvantisering. Digital Leapfrog Filters Edit. Filter Structure Edit. Digital Leapfrog-filter baserar sig på simuleringen av analoga aktiva leapfrog-filter. Incitamentet för detta val är att ärva från utmärkta passbandskänslighetsegenskaper hos den ursprungliga stegenkretsen. Följande 4: e ordning för allpoliga lowpass-hoppfiltret filter. kan implementeras som en digital krets genom att ersätta de analoga integratorerna med accumulato R. Replacing de analoga integratorerna med ackumulatorer motsvarar att förenkla Z-transformen till z 1 s T som är de två första termerna i Taylor-serien av zexps T Denna approximation är tillräckligt bra för filter där samplingsfrekvensen är mycket högre än signalen bandbredd. Överföringsfunktion Redigera. Statusutrymmet för den föregående filmen kan skrivas som. Från denna ekvationsuppsättning kan man skriva A, B, C, D matriserna. Från denna representation kan signalbehandlingsverktyg såsom Octave eller Matlab tillåta att plotta filterets frekvensrespons eller för att undersöka dess nollor och poler. I det digitala språngfiltret sätter koefficienternas relativa värden formen av överföringsfunktionen Butterworth Chebyshev, medan deras amplituder sätter cutofffrekvensen. Delar alla koefficienter av en faktor av två skiftar cutoff frekvensen ned med en oktav också en faktor två. Ett speciellt fall är Buterworth 3: e orderfiltret som har tidskonstanter med relativa värden av 1, 1 2 och 1 På grund av det kan detta filter implementeras i maskinvara utan någon multiplikator, men använder skift istället. Utanvändande filter AR Edit. Autoregressive AR-modeller är processmodeller i form. Var un är modellens utgång , xn är ingången till modellen och un - m är tidigare samplar av modellens utgångsvärde. Dessa filter kallas autogegressiva eftersom utgångsvärdena beräknas baserat på regressioner av tidigare utgångsvärden. AR-processer kan representeras av ett allpoligt filter. ARMA-filter Edit. Autoregressive Moving-Average ARMA-filter är kombinationer av AR - och MA-filter. Filtrets utmatning ges som en linjär kombination av både den viktade ingången och viktade utgångsproverna. ARMA-processer kan betraktas som ett digitalt IIR-filter, med både poler och nollor. AR-filter är föredragna i många fall eftersom de kan analyseras med hjälp av Yule-Walker-ekvationerna MA och ARMA-processer kan å andra sidan analyseras genom komplicerade olinjära ekvationer som är svåra att studera och modell. Om vi ​​har en AR-process med tryckviktskoefficienter aa vektor av an, an - 1 en ingång av xn och en utgång från yn kan vi använda yule-walker-ekvationerna Vi säger att x 2 är variansen av ingångssignalen Vi behandlar ingångsdataignalen som en slumpmässig signal, även om det är en deterministisk signal, eftersom vi inte vet vad värdet kommer att vara tills vi tar emot det. Vi kan uttrycka Yule-Walker-ekvationerna som. Där R är korrelationsmatrisen för processutmatningen. Och r är autokorrelationsmatrisen för processutgången. Varians Edit. We kan visa att. Vi kan uttrycka ingångssignalvarianansen som. Or, expandera och ersätta för r 0 vi kan relatera processvariansvariationen till ingångsvarianen. Z-transformen och avancerad Z-transform introducerades under Z-transformnamnet av EI Jury 1958 i sampled-data-styrsystem John Wiley Sons Idén i Z-transformen var tidigare känd som genereringen f unction method. Z-transform är en platshållare namn, som är relaterat till att kalla Laplace transformera s-transformen Mer exakt skulle vara Laurent transformera, eftersom den är baserad på Laurent-serien Den ensidiga Z-transformen är att diskreta tidsdomän signaler vad den - sidig Laplace-omvandling är kontinuerliga tidsdomän-signaler. Z-transformen, som många andra integrella transformer, kan definieras som antingen ensidig eller tvåsidig transformation. Bilateral Z-Transform. Den bilaterala eller tvåsidiga Z - transformation av en diskret tidssignal xn är funktionen Xz definierad som. där n är ett heltal och z är i allmänhet ett komplext tal. där A är storleksordningen z och är vinkelfrekvensen i radianer per prov. Unilateral Z-Transform. Alternativt, i fall där xn definieras endast för n 0, definieras ensidig eller ensidig Z-transformation som. I signalbehandlingen används denna definition när signalen är orsakssamband. Ett viktigt exempel på den ensidiga Z - transform är sannolikhetsgenererande funktion på var komponenten xn är sannolikheten för att en diskret slumpmässig variabel tar värdet n och funktionen Xz brukar skrivas som X s i termer av sz 1 Egenskaperna för Z-transformer nedan har användbara tolkningar i samband med sannolikhetsteori. Omvänd Z-Transform. Den inverse Z-Transformen är. Där är en motsolsluten väg som omger ursprunget och helt i konvergensregionen ROC Konturen eller banan, måste omsluta alla polerna i. Ett speciellt fall av denna konturintegral det är helt enkelt att var är enhetscirkeln och kan användas när ROC inkluderar enhetscirkeln är den inverse diskreta tiden Fouriertransformen. Z-transformen med ett ändligt intervall av n och ett ändligt antal jämnt fördelade z-värden kan beräknas effektivt via Bluesteins FFT-algoritm Den diskreta Fourier-transformen DFT är ett speciellt fall av en sådan Z-transformation som erhålls genom att begränsa z att ligga på enhetscirkeln. Konvergensregionen. Konvergensregionen ROC är där Z-transformation av en signal har en ändlig summa för en region i det komplexa planet. Exempel 1 Ingen ROC. Let Expanding på det blir. Looking vid summan. Det finns inga sådana värden som uppfyller detta villkor. Exempel 2 kausal ROC. Låt var är Heaviside-steg-funktionen Expanding på det blir. Att titta på summan. Den sista likheten härrör från den oändliga geometriska serien och likheten håller bara om vilken som kan skrivas om i form av således är ROC i detta fall ROC är det komplexa planet med en skivradio 0 5 vid ursprunget utstansad. Exempel 3 anticausal ROC. Var är Heaviside-steg-funktionen Expanding on it. Get i summan. Användning av den oändliga geometriska serien igen håller jämlikheten bara om vilket kan skrivas om i så fall är ROC I detta fall är ROC en skiva centrerade vid ursprung och radius 0 5.Exempeluppsättning. Exempel 2 3 visar tydligt att Z-transformationen av är unik när och endast när du anger ROC Skapa pole-zero plot för orsakssamtal och orsakssak visar att ROC i båda fallen inte inkluderar polen som ligger vid 0 5 Detta sträcker sig till fall med flera poler, ROC kommer aldrig att innehålla poler. I exempel 2 ger kausalsystemet en ROC som inkluderar medan anticausal systemet i exempel 3 ger en ROC som inkluderar. I system med flera poler är det möjligt att ha en ROC som varken innehåller heller eller ROC skapar ett cirkulärt band. Till exempel har poler vid 0 5 och 0 75 ROC kommer att vara, vilket inkluderar varken ursprunget eller oändligheten Ett sådant system kallas ett blandat kausalitetssystem eftersom det innehåller ett kausalt term och en anticausal term. Stabiliteten hos ett system kan också bestämmas genom att känna till ROC ensam Om ROC innehåller enhetscirkeln, dvs då systemet är stabilt I ovanstående system är kausalsystemet stabilt eftersom det innehåller enhetscirkeln. Om du får en Z-transform av ett system utan en ROC, dvs en tvetydig kan du bestämma en unik förutsatt att du önskar följande. Om du n eed stabilitet då ROC måste innehålla enhetscirkeln Om du behöver ett kausal system måste ROC innehålla oändlighet Om du behöver ett anticausal system måste ROC innehålla ursprunget. Den unika kan då hittas. Linjärhet Z-transformationen av linjär kombination av två signaler är den linjära kombinationen av de individuella Z-transformer. Skifttidskiftning av signalen med ett avstånd av k till höger resulterar i att Z-transformen multipliceras med z k. Konvolution Z-transformen av konvolutionen av två sekvenser är produkten av den individuella Z-transformen. Differentiering. Tabell av vanliga Z-transformerpar.